14次 摘要：2015年,N. Castro-Gonzalez等給出了環上矩陣P是可逆時矩陣乘積PA是{1,3}-可逆的,AQ是{1,4}-可逆的和PAQ是MP-逆的充要條件及表達式,本文給出了環上矩陣A滿足PPA=A=AQQ時,矩陣乘積PA是{1,3}-可逆的,AQ是{1,4}-可逆的,PAQ是MP-逆的充要條件及一些注記。 --> 摘要：2015年,N. Castro-Gonzalez等給出了環上矩陣P是可逆時矩陣乘積PA是{1,3}-可逆的,AQ是{1,4}-可逆的和PAQ是MP-逆的充要條件及表達式,本文給出了環上矩陣A滿足P′PA=A=AQQ′時,矩陣乘積PA是{1,3}-可逆的,AQ是{1,4}-可逆的,PAQ是MP-逆的充要條件及一些注記。 關鍵詞：廣義逆; {1,3}-逆; {1,4}-逆; Moore-Penrose逆; 廣義逆理論是應用廣泛的一個數學分支,其在微分方程、數值代數、線性統計推斷、最優化、電網絡分析、馬爾可夫鏈、系統理論及測量學、信號問題、人工智能等眾多領域起著重要的作用。隨著大規模科學計算的發展以及其他應用數學領域的需要,廣義逆的理論得到了迅速的發展。 廣義逆的概念最早來源于1903年I.Fredholm在積分方程的研究中提出的積分算子廣義逆(稱之為偽逆)。1904年,德國數學家D.Hilbert提出了微分算子的廣義逆。而矩陣的廣義逆是E.H.Moore教授于1920年首次提出,直到1955年R.Penrose證明了Moore所定義的復矩陣A的廣義逆可以采用4個復矩陣方程即AXA=A,XAX=X,(AX)*=AX,(XA)*=XA的唯一解X來表示[1],這個發現開創了廣義逆理論的新篇章。為了紀念Moore和Penrose在廣義逆上所作的貢獻,稱這種廣義逆為Moore-Penrose逆(簡稱MP-逆)。至此,許多學者從泛函分析、數值計算和代數學等角度開始研究它,并得到了許多有意義的結果。 1968年,M.H.Pearl[2]給出了任意域上的矩陣A的MP-逆存在的充要條件是秩(A)=秩(AA*)=秩(A*A)。1976年,R.E.Hartwig[3]在*-環中給出了元素的{1,3}-逆和{1,4}-逆存在的充要條件:x為a的{1,3}-逆當且僅當a=x*a*a,y為a的{1,4}-逆當且僅當a=aa*y*。2002年,J.J.Koliha等[4]在*-環R中證明了元素a是MP-逆的當且僅當a既是{1,3}-可逆又是{1,4}-可逆的。2003年,P.Patricio[5]進一步考慮了環上矩陣積PAQ(存在環上矩陣P′,Q′,使得P′PA=A=AQQ′)的MP-逆,證明了PAQ是MP-逆的充要條件是PA是{1,3}-可逆的及AQ是{1,4}-可逆的。2015年,N.Castro-gonzalez等[6]給出了環上矩陣P是可逆時PA是{1,3}-可逆的,AQ是{1,4}-可逆的,PAQ是MP-逆的充要條件及表達式。本文受此啟發,給出了環上矩陣A滿足P′PA=A=AQQ′時矩陣乘積PA是{1,3}-可逆的,AQ是{1,4}-可逆的,PAQ是MP-逆的充要條件及一些注記。 1預備知識 定義1設R是一個環,*:R→R的映射。如果對所有的a,b∈R,均有(a*)*=a,(ab)*=b*a*和(a+b)*=a*+b*成立,則稱*是環R一個對合。具有對合運算*的環,稱為*-環。 定義2設R是一個*-環且a∈R,若存在元素y∈R,使得aya=a和(ay)*=ay,則稱元素a是{1,3}-可逆的,且稱y是a的一個{1,3}-逆,記為a(1,3)。一般地,使上式成立的y并不唯一,把所有滿足條件的y構成的集合記為a{1,3}。 定義3設R是一個*-環且a∈R。若存在元素y∈R,使得aya=a和(ya)*=ya,則稱元素a是{1,4}-可逆的,且稱y是a的一個{1,4}-逆,記為a(1,4)。一般地,使上式成立的y并不唯一,把所有滿足條件的y構成的集合記為a{1,4}。 定義4設R是一個*-環且a∈R。若存在元素y∈R,使得aya=a,yay=y,(ay)*=ay和(ya)*=ya,則元素a是MP-可逆的。滿足上述方程的y稱為a的MP逆。如果元素a的MP-逆存在,則它是唯一的,記為a†。 定義5設R是一個環且a∈R。若存在元素y∈R,使得aya=a,yay=y,ay=ya,則元素a是群可逆的。滿足上述方程的y稱為a的群逆。如果元素a的群逆存在,則它是唯一的,記為a#。 我們用Mm×n(R)表示環R上m×n階矩陣的集合,Mm(R)表示環R上m×m階矩陣的集合。對于Mm×n(R)上任意矩陣A=(aij),我們用Mn×m(R)上A*表示矩陣A的共軛轉置矩陣,其中。 下面首先給出本文需要的幾個引理。 引理1[6]設環R是有單位元的環,e是R中的冪等元,a是R中的元素。則下列敘述等價: 1)u=ea+1-e是可逆的; 2)v=eae+1-e是可逆的; 3)w=ae+1-e是可逆的; 4)e∈eaeR∩Reae。 引理2[7]設a,b,c∈R。則 1)如果(1+ab)c=1,則(1+ba)(1-bca)=1; 2)如果c(1+ab)=1,則(1-bca)(1+ba)=1。 由引理2可知,1+ab是左(或右)可逆的當且僅當1+ba是左(或右)可逆的。特別地,1+ab是可逆的當且僅當1+ba是可逆的,且(1+ba)-1=1-b(1+ab)-1a。這個公式被稱為Jacobson公式。 引理3[3]設R是一個*-環且a∈R。則有 1)元素a是{1,3}-可逆的當且僅當a∈Ra*a。如果存在y∈R使得a=ya*a,則y*∈a{1,3}; 2)元素a是{1,4}-可逆的當且僅當a∈aa*R。如果存在y∈R使得a=aa*y,則y*∈a{1,4}。 下面我們給出*-環中兩個元素乘積pa是{1,3}-可逆的刻畫。 2主要結果 定理1設R是一個*-環且a∈R使得a(1,3)存在,令e=aa(1,3),且對環R中元素p,存在p′∈R使得p′pa=a。則下列敘述等價: 1)pa是{1,3}-可逆的; 3)u=p*pe+1-e是可逆的; 4)pep*是群可逆的。 此時,pa的一個{1,3}-逆有如下形式 證明1)⇒2)。如果pa是{1,3}-可逆的,且設y是它的一個{1,3}-逆,則有pa=paypa且(pay)*=y*a*p*=pay。 由已知存在p′∈R使得p′pa=a,于是在等式pa=paypa兩邊同時乘以p′,可得a=aypa。從而有 其中s=p′y*a*∈R。 另一方面,因為e=(aa(1,3))*=aa(1,3)=e,所以e=ep*pes*∈ep*peR。 2)⇒3)。利用引理1即證。 3)⇒1)。因為ea=(aa(1,3))a=a,則有a*=(ea)*=a*e*=a*e。又因為u=p*pe+1-e,等式兩邊同時乘以a*可得,a*u=(pa)*pe+a*(1-e)=(pa)*pe。因為u是可逆的,所以a*=(pa)*peu-1,從而a*p*=(pa)*peu-1 p*=(pa)*paa(1,3)u-1p*,因此pa=(a(1,3)u-1p*)*(pa)*pa。 由引理3可知,如果存在v∈R使得a=va*a,則a是{1,3}-可逆的且a(1,3)=v*。所以pa是{1,3}-可逆的,且(pa)(1,3)=a(1,3)u-1 p*。 3)⇔4)。因為e=aa(1,3)=e2=e*,且p′pa=a,所以p′pe=e,從而p′pe=e=e*=ep*(p′)*。又由引理1可知u=p*pe+1-e是可逆的,當且僅當u1=ep*p+1-e是可逆的。 由文獻[8]的推論1可知如果e=aa(1,3)=e2且存在p′,q′∈R使得p′pe=e=eqq′,則peq是群可逆的充要條件是eqp+1-e是可逆的,且此時(peq)#=pe(eqpe+1-e)-2q。因此,u1=ep*p+1-e是可逆的當且僅當pep*是群可逆的,且此時(pep*)#=pe(u1)-2p*。所以,u=p*pe+1-e是可逆的當且僅當pep*是群可逆的。 注記1定理1推廣了文獻[6]中定理3.1中1)～3)的結果,即文獻[6]中作者假設p是可逆的且p′(1-e)=1-e,而本文的定理1僅是假設p′pa=a。對于文獻[6]中的定理3.1中4)的結論,即1+r*r是可逆的當且僅當pa是{1,3}-可逆的(這里r=(1-e)(1-p-1)),我們給出如下說明: 1)即使假設p′pa=a,p′(1-e)=1-e,a†存在,且1+r*r是可逆的,其中r=(1-e)(1-p′),同樣也得不到(pa)†存在。更一般地,也得不到pa是{1,3}-可逆的。 例如,設環R表示ℤ2上具有無限秩的有限行有限列的矩陣環,且A*=AT(即矩陣A的對合表示矩陣A的轉置)。令a=1,則1-e=0,r=0,且1+r*r是可逆的。設p,p′∈R,定義為 則有p′p=1,p′pa=a,pa=p。但是 在ℤ2上不是可逆的。由文獻[9]的定理1可知,p†存在當且僅當pp*+1-pp(1)是可逆的。而由引理1可知pp*+1-pp(1)是可逆的充要條件是p*p+1-pp(1)=p*p是可逆的。而本例中p*p不可逆,從而p†不存在,即(pa)†不存在。 2)如果假設p′pa=a,p′(1-e)=1-e,且假設(pa)†和a†存在,我們也得不到1+r*r是可逆的,其中r=(1-e)(1-p′)。 例如,同上例設環R表示ℤ2上具有無限秩的有限行有限列的矩陣環,且A*=AT。令 則a†存在,且a†=a*=aT。令p=a,因此p′p=1,從而p′pa=a且 則a1†=a1*,故(pa)†存在,且(pa)†=(a2)†=(a†)2。又由 在ℤ2上不是可逆的。 如果1+r*r是可逆的,則有如下定理。 定理2設R是一個*-環且a∈R使得a(1,3)存在,令e=aa(1,3),且對環R中元素p,存在p′∈R使得p′pa=a。如果pa是{1,3}-可逆的,令p′(1-e)=1-e。則下列敘述等價: 1)v=p′(p′)*(1-e)+1-(1-e)是可逆的; 2)w=(1-e)p′(p′)*(1-e)+ep*pe是可逆的; 3)1+r*r是可逆的,其中r=(1-e)(1-p′); 4)pe和(1-e)p′是MP-可逆的且滿足(1-e)p′((1-e)p′)†+(pe)†pe=1。 此時,(pe)†=w-1(pe)*,((1-e)p′)†=((1-e)p′)*w-1,且w-1=[(1-e)p′((1-e)p′)*]†+[(pe)*pe]†。從而,pa的{1,3}-逆有如下形式 證明如果pa是{1,3}-可逆的,則由定理1可知,u=p*pe+1-e是可逆的。利用引理1,可知u1=ep*pe+1-e是可逆的。 1)⇔2)。由引理1可知,v=p′(p′)*(1-e)+1-(1-e)是可逆的當且僅當v1=(1-e)p′(p′)*(1-e)+1-(1-e)是可逆的。而w=(1-e)p′(p′)*(1-e)+ep*pe=u1v1=v1u1,故w=(1-e)p′(p′)*(1-e)+ep*pe是可逆的當且僅當v1=(1-e)p′(p′)*(1-e)+1-(1-e)是可逆的,從而w是可逆的當且僅當v是可逆的。由Jacobson公式有u1-1=w-1v1=v1 w-1。又因為v1e=[(1-e)p′(p′)*(1-e)+1-(1-e)]e=e,故 從而2)成立。 1)⇔3)。設r=(1-e)(1-p′)。則r*=(1-p′)*(1-e),故 1+r*r=1+(1-p′)*(1-e)(1-p′)=1+r*(1-p′)=1+r*-r*p′。 因為r2=(1-e)(1-p′)(1-e)(1-p′)=0,故1+r*是可逆的,且(1+r*)-1=1-r*。從而, 因此,1+r*r是可逆的當且僅當1-[(1-e)-(p′)*(1-e)]p′是可逆的。由引理1可知,1-[(1-e)-(p′)*(1-e)]p′是可逆的當且僅當 1-p′[(1-e)-(p′)*(1-e)]=1+p′(p′)*(1-e)-p′(1-e)=1+p′(p′)*(1-e)-(1-e)=v是可逆的。 1)⇔4)。令φ=(1-e)p′,η=pe。則ηφ=pe(1-e)p=0,且 w=(1-e)p′(p′)*(1-e)+ep*pe=(1-e)p′[(1-e)p′]*+(pe)*pe=φφ*+η*η。 假設φ=(1-e)p′和η=pe分別存在MP-逆φ†和η†,且滿足φφ†+η†η=1。則我們知道φφ*和η*η也存在MP-逆。又因為φ*η*=(ηφ)*=0,故, 同理可證 [(φφ*)†+(η*η)†](φφ*+η*η)=1。 從而,w=φφ*+η*η是可逆的,且它的逆為(φφ*)†+(η*η)†。 另一方面,如果w=φφ*+η*η是可逆的。因為wφφ*=(φφ*+η*η)φφ*=φφ*φφ*=(φφ*)2,所以φφ*=w-1(φφ*)2。又因為φφ*是自伴隨的,故φφ*是MP-可逆的,且(φφ*)†=w-1φφ*w-1。而w=φφ*+η*η與φφ*可交換,且wφ=(φφ*+η*η)φ=φφ*φ,所以,(φφ*)†=w-2φφ*,且φφ*(φφ*)†φ=w-2φφ*φφ*φ=φ。從而φ是MP-可逆的,且φ†=φ*(φφ*)†=φ*φφ*w-2=φ*w-1。 同理可證,η†=w-1η*。 因為w與φφ*可交換,故有φφ†+η†η=φφ*w-1+w-1η*η=w-1(φφ*+η*η)=w-1w=1,得證。 類似定理1和定理2,如果a(1,4)存在,則我們有如下定理3和定理4。 定理3設R是一個*-環且a∈R使得a(1,4)存在,令f=a(1,4)a,且對環R中元素q,存在q′使得a=aqq′。則下列敘述等價: 1)aq是{1,4}-可逆的; 2)f∈Rfqq*f∩fqq*fR; 3)u′=fqq*+1-f是可逆的; 4)q*fq是群可逆的。 此時,aq的一個{1,4}-逆有如下形式 證明注意到(a(1,4))*是a*的{1,3}-逆。因為a=aqq′,故有a*=(q′)*q*a*。應用定理1可知,有如下等價條件: 1)q*a*是{1,3}-可逆的; 2)f∈Rfqq*f∩fqq*fR; 3)u′2=qq*f+1-f是可逆的; 4)q*fq是群可逆的; 由以上條件可知,定理3中1)～4)是等價的。 定理4設R是一個*-環且a∈R使得a(1,4)存在,令f=a(1,4)a,且對環R中元素q,存在q′使得a=aqq′。如果aq是{1,4}-可逆的,令(1-f)q′=1-f。則下列敘述等價: 1)v′=(q′)*q′(1-f)+1-(1-f)是可逆的; 2)w′=(1-f)(q′)*q′(1-f)+fqq*f是可逆的; 3)1+ll*是可逆的,其中l=(1-q′)(1-f); 4)q*f和(1-f)(q′)*是MP-可逆的且滿足[q′(1-f)]†q′(1-f)+fq(fq)†=1。 此時,(q*f)†=(w′)-1fq,[(1-f)(q′)*]†=[q′(1-f)](w′)-1且(w′)-1=[(1-f)(q′)*q′(1-f)]†+(fqq*f)†。 從而,aq是{1,4}-可逆的有如下形式 如果a(1,3)和a(1,4)存在,即a†存在,利用定理1和定理3,則有如下定理。 定理5設R是一個*-環且a∈R使得a†存在,令e=aa†,f=a†a,且對環R中元素p和q,存在p′和q′使得p′pa=a=aqq′。則下列敘述等價: 1)(paq)†存在; 2)e∈Rep*pe∩ep*peR,f∈Rfqq*f∩fqq*fR; 3)u=p*pe+1-e和u′=fqq*+1-f是可逆的; 4)pep*和q*fq是群可逆的。 此時,(paq)†=q*(u′)-1a†u-1p*。 證明由參考文獻[5]可知,paq是MP-可逆的當且僅當pa是{1,3}-可逆的且aq是{1,4}-可逆,此時(paq)†=(aq)(1,4)a(pa)(1,3)。利用定理1和定理3可知,1)-4)成立,且 參考文獻 [1] PENROSE R. 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