當前,我國數學教材中的習題和考題多半是脫離了實際背景的純數學題,或者是看不見背景的應用數學題.這樣的訓練,久而久之,使學生解現成數學題的能力很強,而把實際問題抽象化為數學問題的能力卻很弱.面對新世紀的挑戰,我們重建的數學課程應該注意將民族的數學應用成果及時納入教育內容.在課程中及時增加反映在社會發展中的應用知識,并研究培養學生應用能力的對策,從而達到數學課程改革與社會進一步相一致.數學課程中強化“應用”既是一個復雜問題,又是一個長期未能解決好的問題“應用”在數學教育中有許多解釋,有些人為的非現實生活的例子,也可能有重要的教育價值,也可以培養學生應用數學的技能,不能一概否定。還有一類傳統的例子是過分“現實”的,如直接從職業中拿出來的簿記、稅收;如聯系特殊地方工業的“三機一泵”.這就有一個“誰的現實”問題,這些例子只是社會的一些特殊需要,不足取.數學的重要性主要不在于這樣的“應用”,它不可能總是結合學生的“現實”。
前面說的都是“現實”例子用來為數學教學服務,當數學用來為現實服務時,即當我們用數學解決問題時,情況就完全不同了,它是用數學去描述、理解和解決學生熟悉的現實問題.這種問題不僅有社會意義,而且不局限于單一的教學,還要用到學生多方面的知識,在這方面英國數學課程設計中的課程交叉值得我們學習借鑒.所謂課程交叉就是在某學科教學過程中,突出該學科與現實生活以及其它學科的聯系。英國的數學課程交叉主要表現為:從現實生活題材中引入數學;加強數學與其它科目的聯系;打破傳統格局和學制限制,允許在數學課程中研究與數學有關的其它問題等。
數學課程中強化“應用”意識,落實到具體,必須在教材、教學、考試等方面都要增加用數學的意識.用數學的什么呢?可分為如下三個層次:①用結論用數學的現成公式,這是最低層次,人們最容易看到的地方。②用方法如方程的方法、圖表的方法、分析與綜合邏輯推理的方法等。③用思想研討問題的一般過程,觀察、分析、試驗。從需要與可能兩個方面考慮問題;逐步逼進;分類與歸一;找特點、抓關鍵;從定性到定量等.通過用數學,學生才能理解知識、掌握知識;通過用數學,才能訓練學生的思維。
值得指出的是,與課程中強化數學的應用意識相關的一個問題就是允許非形式化。首先,應恰當掌握數學理論形式化的水平,加強對理論實質的闡述。我們非常贊同“允許非形式化”的觀點,“不要把生動活潑的觀念淹沒在形式演繹的海洋里”,“非形式化的數學也是數學”。數學課程要從實際出發,從問題出發,開展知識的講述,最后落實到應用。例如,極限概念可以在小學圓面積公式、初中平面幾何中圓周率的近似值的求法、高中代數等比數列求和等處逐步孕伏,在學微積分時正式引入。只要不在形式化上過分要求,學生是不難接受并能加以運用的。其次,應恰當掌握對公式推導、恒等變形及計算的要求。隨著計算機的普及,二十一世紀對手工計算的要求大大降低。從增強用數學的意識講,也應降低對公式推導與恒等變形的要求,否則沒有時間來講應用。要充分利用幾何直觀,形象地加以說明.否則應用的重點難以突出,生動活潑的思維會淹沒在繁難的計算和公式推導中,“增強用數學的意識”就會落空,學生思維水平也不會提高,新內容的引入將障礙重重。
在此筆者要強調的是,要使數學課程中應用意識的增強落到實處,一個重要的舉措就是數學課程應對數學建模必須給予極大的關注.數學模型是為了一定的目的對現實原型作抽象、簡化后所得的數學結構,它是使用數學符號、數學式子以及數量關系對現實原型簡化的本質的描述.而對現實事物具體進行構造數學模型的過程稱為數學建模。也就是說,數學建模一般應理解為問題解決的一個側面、一個類型.它解決的是一些非常實際的問題,要求學生能把實際問題歸納成數學模型加以解決.從數學的角度出發,數學建模是對所需研究的問題作一個模擬,舍去無關因素,保留其數學關系以形成某種數學結構.從更廣泛的意義上講,建模則是一種技術、一種方法、一種觀念。
數學課程內容應是數學科學內容的“教育投影”,數學應用范圍的不斷擴大,迫切要求數學課程作出反應.人們發現,這些應用都有一個共同點,就是把非數學問題抽象成數學問題,借助于數學方法獲得解決.因此,數學模型作為一門課程首先在一些大學數學系里被提倡.后來,人們又發現,傳統的中小學數學課本中的應用僅僅是:把日常生活中的經濟、商業、貿易和手工業中的問題用一定程序表達,內容只涉及計數、四則運算和測量等.這種應用無論是方式還是內容,與數學在現實生活中的應用相比,相差甚遠.于是數學建模作為一種教學方式在中小學受到重視,通過“做數學”達到“學數學”的目的。
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